傅立叶变换吉吉影音成人，这个被平时专揽于科学、工程和数学的庞杂器具，时时被默契为一种从时域到频域的调遣机制。但要实在掌持它，咱们需要进一步剖析其背后的数学道理。

令f为一个由R到R的函数。在典型情况下对于f并莫得什么可说的，但是有些函数具有有用的对称性质。举例，若对于每一个x都有f(-x)=f(x)，就说f是一个偶函数，而若对每一个x有f(-x)=-f(x)，就说f是一个奇函数。进一步说，每一个函数都不错写成一个偶函数f_e（称为f的偶部）和一个奇函数f_o（称为f的奇部）的重叠。举例，函数

成都 男同

图片

既不是偶的，也不是奇的，但是，它不错写成

图片

其中

图片

图片

对于一般的函数f，这种剖析是惟一的，而由公式

图片

和

图片

给出。

偶函数和奇函数有什么样的对称性呢？底下是一个对待它们的有用的要道。有一个由实数轴上的两个变换组成的群：一个变换是恒等变换：

图片

另一个是反射：

图片

实轴上的狂妄变换Φ都会开采出界说在实轴上的函数的变换如下：给定一个界说在实轴上的函数f，变换后的函数便是g(x)=f(Φ(z))。对于现时的情况，若

图片

则变换后的函数是便是f(x)本人，而若Φ=p，则取得f(-x)。若f是偶函数或奇函数，则变换后的函数是正本函数f的标量倍数。非凡是若Φ=p，则当f为偶函数时，变换后的函数仍为f(x)，而作为倍数的标量是1；当f为奇函数时，则变换后的函数是-f(x)而这个标量是-1。

上头样式的经由不错看作是傅里叶变换的一般见解的很浅薄的原型。止境平时地讲，一个傅里叶变换便是一种把止境“一般”的函数剖析为“对称”函数的重叠的系统要道。这些对称的函数时时都是显式界说的，举例，最贫瘠的便是剖析为三角函数 sin(nx)和cos(nx) 的线性组合，它们也时时与频率和能量这些物理见解相关。对称性一般是与一个群G相商酌的，这个群又时时是阿贝尔群（在上头的例子中，它是一个含两个元素的群）。

阿贝尔群的特色在于，它餍足交换律，也便是说，不管怎样调换元素的运算规则，运算结果都是同样的。

说真是，傅里叶变换是研究群的表面，准确一些说是研究群暗意表面的基本器具，这个表面温雅的便是一个群不错怎样在不同时势下行为是对称群。傅里叶变换也与线性代数的一些主题相关，举例，向量之暗意为举止正交基底的线性组合，或者暗意为一个矩阵或线性算子的本征向量的线性组合。

当今来看一个比拟复杂的例子。固定一个正整数n，咱们要给出一个把由C到C的函数，即复平面上的复函数加以剖析的系统要道。若f是这么一个函数，而j是介于0到n-1间的整数，咱们说f是一个j阶谐振子，若是它有以下的性质：

图片

即若ω是1的一个n阶本原单元根：

图片

这时，对于狂妄的复数z∈C，有

图片

在意，若n=2，则ω=-1，是以若j=0就会回到偶函数的界说，而若j=1，就回到奇函数的界说。事实上，受到这件事的启发，就会取得把f剖析为谐振子的一般公式，而这种张开亦然惟一的。其作法如下：若界说

图片

则讲解对于狂妄复数z∈C有

图片

仅仅一个浅薄的习题，何况还有

图片

这么，f不错剖析为谐振子之和。这便是一个傅里叶变换，而与它相商酌的群便是n阶单元原根：

图片

即n阶轮回群。

图片

当今探讨无限群。令f为界说在单元圆周T上的一个复函数。为了幸免一些期间上的问题，假定f为光滑的，即无限可微的。若是f是一个体式浅薄的函数

图片

n是一个整数，而c是一个常数，则f有n阶的旋转对称性。即是说，若再令

图片

则对于狂妄复数z∈C，f(ωz)=f(z)。从前边的例子看到，并不惊叹，狂妄光滑函数f都不错暗意为这种旋转对称函数的重叠。事实上，有

图片

数

图片

称为f在频率为n处的傅里叶整个，日韩av而由下式给出：

图片

这个公式不错看作是上头fj(z)的公式，当z收敛在单元圆周上且n趋于无尽时的极限。它也不错看作是全纯函数的泰勒级数的本质：若f在闭单元圆盘上是全纯的，则有

图片

而泰勒整个an由下式给出

图片

一般说来，傅里叶分析与复分析有很概述的商酌。

全纯函数（又称解析函数或正规函数）是复分析中的基本见解。它是在复数域上界说并餍足某些性情的函数。

给定复变量 z，若是函数 f(z) 在其界说域内的每少量都存在复导数，那么这个函数就称为全纯函数。浅薄地说，全纯函数便是在其界说域内处处可微的复函数。

若是f是光滑的，则其傅里叶整个衰减于0止境快，而很容易讲解其傅里叶级数

图片

但是，若是f不是光滑的（举例仅仅通顺的），问题就私密多了，这时必须仔细笃定这个级数拘谨的确切的道理。骨子上颐营养析的相称一部分便是在商榷这一类问题，以及科罚这类问题所需的器具。

与傅里叶分析的这种讲法相关的群是圆周的群T。在意，咱们既把数

图片

行为圆周上的少量，又把它行为旋转一个角θ。这么，这个圆周和它的旋转对称群不错等同起来。但是还有第二个群在这里也很贫瘠，即整个整数所成的加法群Z。若是取两个基本的对称函数z^m和z^n并把它们乘起来，就会取得z^（m+n），是以映射

图片

便是由Z到这些函数在乘法下所成的群的同构。群Z就称为T的庞特里亚金对偶。

在偏微分方程以及颐营养析的相关领域里，最贫瘠的傅里叶变换是界说在欧几里得空间R^d上的。在整个的函数

图片

取平面波：

图片

为“基本的”函数，这里ξ∈R^d是一个向量（称为平面波的频率），x·ξ是位置向量x和频率向量ξ的数量积，

图片

在意，形如

图片

是正交于向量ξ的（超）平面，在每一个这么的纠合上，平面波f(x)取常数值，而f在H_λ上的值与在H_λ+2π上的值同样。平面波一词即由此而来。不错讲解，若f相称“好”(举例是光滑的，何况当x变大时衰减到0相称快)，它就不错惟一地暗意为平面波的重叠，不外这里的“重叠”要用一个积分而不是乞降来暗意。更确切地说，有

图片

其中

图片

图片

而前一个公式则称为逆傅里叶变换公式。这两个公式告诉咱们怎样从正本的函数求出其傅里叶变换，以及相背。咱们不错把

图片

不错讲解，当f相称“好”的时刻，论证这些积分的拘谨性毫无困难，但是当f比拟好像或者衰减得不太快的时刻，这些问题又变得很私密，在R^d上的傅里叶变换的情况下，相关的群是欧几里得群R^d

图片

还要在意，当今位置x和频率ξ都含于R^d内，是以R^d在这个布景下，恰是我方的庞特里亚金对偶。

傅里叶变换的一大用途是用它来默契作用在函数上的多样算子，举例，R^d上的拉普拉斯算子，给定一个函数f:R^d→C，拉普拉斯算子△f的界说是

图片

这里把向量x写要素量情状，而把f行为d个实变量的函数：

图片

为了幸免期间细节，只探讨那些弥散光滑使得上式挑升想而不产生困难的情况。一般说来，一个函数f和它的拉普拉斯算子△f之间并无清晰的关系。但是，若f是平面波

图片

则二者有清晰的关系：

图片

便是说拉普拉斯算子作用在平面波上的结果便是把它乘以标量：

图片

换句话说，

图片

（一般说来，平面波将是狂妄与平行挪动可交换的线性算子的本征函数）。是以，透过傅里叶变换的棱镜来看拉普拉斯算子是很浅薄的：傅里叶变换使咱们能把狂妄的函数写成平面波的重叠，而拉普拉斯算子在每一个平面波上的结果又很浅薄，诠释晰少量，便是

图片

此式给出了拉普拉斯算子作用在一般函数上的公式。在这里交换了拉普拉斯算子与积分的轨范，对于合适好的函数，这是不错严格论证的，但是咱们略去细节。

这个公式把△f暗意为平面波的重叠。此外，逆傅里叶变换的公式又告诉咱们

图片

但是，一个函数暗意为平面波的重叠的要道是惟一的，是以

图片

这一个事实固然也不错由傅里叶变换的界说获胜导出，这个恒等式阐明，傅里叶变换把拉普拉斯算子对角化，便是说，从傅里叶变换看来，对某个函数施加拉普拉斯算子，无非便是把这个函数的傅里叶变换F(ξ)乘以乘子

图片

图片

换言之，拉普拉斯算子不错行为一个傅里叶乘子。这句话的道理是，若是想要计较拉普拉斯算子对于一个函数的作用，不错先取这个函数的傅里叶变换，乘上乘子，再取逆傅里叶变换。这个不雅点使得拉普拉斯算子的操作变得很容易。举例，不错迭次使用这个公式来计较拉普拉斯算子的各次幂：

图片

事实上，当今也曾不错界说拉普拉斯算子的愈加一般的函数。举例，不错取拉普拉斯算子的平方根如下：

图片

这就会调换到分数阶微分算子表面，还有更一般的函数演算表面，在其中，咱们从某一个算子（如拉普拉斯算子）初始，然后研究这个算子的多样函数，举例平方根、指数、倒数，等等。

正如上头的商榷所标明的那样，傅里叶变换不错用来发展好多趣味趣味的运算，而这对于微分方程表面有非凡的贫瘠性。为了有用地分析这些运算，需要傅里叶变换的各种经营。举例，了解一个函数f的用某种范数暗意的大小，与其傅立叶变换的可能用其他范数来暗意的大小的关系，这时时是贫瘠的。对于这少量的进一步商榷可见条件函数空间。这种类型的经营中非凡贫瘠而又惊东谈主的是普兰舍利公式

图片

它标明，一个函数的傅里叶变换的L₂范数与正本函数的L₂范数恰巧止境。是以，傅里叶变换是一个酉变换，因此不错把一个函数的频率空间暗意行为是它的物理空间暗意的某种道理的旋转。

在线性代数中，一个酉变换（Unitary Transformation）是一个保持向量内积不变的线性变换，也便是说，若是你有两个向量，在变换前后，它们的内积保持不变。

发展与傅里叶变换以及相关算子的进一步的经营是颐营养析的很大一个部分。普兰舍利恒等式的一个变体的傅里叶变换的卷积公式

图片

这个公式使咱们能用两个函数f和g的傅里叶变换来分析它们的卷积

图片

非凡是，若f或g的傅里叶变换很小，则咱们不错守望它们的卷积f*g也很小。这个关系意味着傅里叶变换收敛了一个函数和它我方以及和其他函数的某些相关性，这就使得傅里叶变换成了研究迅速性以及概率表面、颐营养析和数论中的其他对象的均匀分歧性质的贫瘠器具。举例，咱们不错奉陪这个想想来成就中心极结果理，这个定理标明好多孤独迅速变量的和最终会像是一个高斯分歧；咱们以致不错用这个要道来讲解维诺格拉多夫定：狂妄充分大的奇数都是三个素数之和。

以上这些想想不错在多个方朝上本质。举例，不错用比拟一般的算子代替拉普拉斯算子，用这个算子的（广义）本征函数代替平面波，这么就取得谱的表面和函数演算。也能抽象地研究傅里叶乘子的代数，这就调换到C'-代数。还不错越出线性算子表面来研究双线性、多线性以致王人备非线性算子，这非凡会调换到仿积的表面。仿积是点态乘积运算(f(x)，g(x))→fg(x)的本质，它在微分方程中有贫瘠性。

在另一个方朝上，也能用更一般的群来代替R^d，这时，平面波的见解就会被群特征标见解（在阿贝尔群的情况）取代，或者被群的暗意（在非阿贝尔群的情况）所取代。傅里叶变换还有其他变体，如拉普拉斯变换、梅林变换，它们在代数上很像傅里叶变换，何况作用也相似（举例，拉普拉斯变换在微分方程上所起的作用）。咱们也曾看到傅里叶变换与泰勒级数相关，它还与其他贫瘠的级数张开式有商酌，需要提到的有狄利克雷级数，以及函数按额外多项式的级数张开，举例，按正交多项式或球面颐养的张开式。

傅里叶变换是把函数分红好多要素吉吉影音成人，而每一个要素恰巧有一个准确的频率。但在有些专揽中，接受一种比拟“弄脏”的阶梯更为有用。这时，函数被剖析成的要素数量要少一些，但是每一个要素所含的频率组成一个频段，而不是单个频率。这么一种剖析有一个上风，便是受到不笃定性道理的收敛较少，因为按照不笃定性道理，一个函数偏激傅里叶变换不成能同期局限在R4的很小的区域里。这么会导致傅里叶变换的某些变体，如小波变换，它对好多专揽数学和计较数知识题更为稳当，也对某些颐营养析和微分方程的问题更为稳当。对于量子力学起基本作用的不笃定性道理也把傅里叶变换与数学物理商酌起来，非凡是经典物理和量子物理的商酌，不错通过几何量子化和微局部分析的要道作严格的研究。

本站仅提供存储就业，整个内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。